La série harmonique alternée des nombres impairs
Démonstration
On sait que, pour tout nombre réel x compris entre 0 et 1, on peut écrire :
\frac 1 {1+x^2} = 1 -x^2 +x^4 -x^6 + ... + (-1)^n x^{2n} + ... = \sum_{n=0}^\infty { (-1)^n x^{2n} }
Intégrons de 0 à un nombre \alpha également compris entre 0 et 1:
\int_0^{\alpha} { \frac {dx} {1+x^2} } = \biggl [ \arctan x \biggr ]_0^{\alpha} = \arctan \alpha
Pour la série, nous obtenons :
\int_0^{\alpha} {
\sum_{n=0}^\infty { (-1)^n x^{2n} dx }
}
=
\biggl [
\sum_{n=0}^\infty { \frac { (-1)^n x^{2n+1} } {2n+1} }
\biggr ]_0^{\alpha}
=
\sum_{n=0}^\infty { \frac { (-1)^n {\alpha}^{2n+1} } {2n+1} }
Si on fait tendre \alpha vers 1, on obtient la série qui nous intéresse :
\sum_{n=0}^\infty { \frac { (-1)^n } {2n+1} } = 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 - \frac 1 7 + \frac 1 9 - ...
Cette série est convergente, car la valeur absolue du terme général décroît et tend vers 0 (critère de Leibniz).
On obtient donc :
\boxed {
\frac \pi 4 = 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 - \frac 1 7 + \frac 1 9 - ... = \sum_{n=0}^\infty { \frac { (-1)^n } {2n+1} }
}