La somme des inverses des carré des entiers
Démonstration
Partons de la formule du développement de \frac { sin x} x que l'on doit à Euler:
\boxed { \frac {\sin x} x = \Big( 1 - \frac {x^2} {\pi^2} \Big) \Big( 1 - \frac {x^2} {4 \pi^2} \Big) \Big( 1 - \frac {x^2} {9 \pi^2} \Big) ... \Big( 1 - \frac {x^2} {k^2 \pi^2} \Big) ... }
Écrivons le développement limité à l'ordre 2 du membre de gauche :
\frac {\sin x} x = 1 - \frac {x^2} 6 + {x^2} O(x)
Identifions les coefficients de x^2 dans chacun des deux membres, il vient :
\frac 1 6 = \frac 1 {\pi^2} + \frac 1 {4 \pi^2} + \frac 1 {9 \pi^2} + ... \frac 1 {k^2 \pi^2} ...
D'où :
\boxed { \frac {\pi^2} 6 = 1 + \frac 1 4 + \frac 1 9 + \frac 1 {16} + ... \frac 1 {k^2} ... = \sum_{n=1}^\infty { \frac 1 {n^2} } }
texte bidon qui ne se voit pas mais sur fond bleu pâle