La série harmonique alternée
Démonstration
On sait que, pour tout nombre réel x compris entre 0 et 1, on peut écrire :
\frac 1 {1+x} = 1 -x +x^2 -x^3 + ... + (-1)^n x^n + ... = \sum_{n=0}^\infty { (-1)^n x^n }
Intégrons de 0 à un nombre \alpha également compris entre 0 et 1:
\int_0^{\alpha} { \frac {dx} {1+x} } = \biggl [ \ln ( 1 + x ) \biggr ]_0^{\alpha} = \ln ( 1 + \alpha )
Pour la série, nous obtenons :
\int_0^{\alpha} {
\sum_{n=0}^\infty { (-1)^n x^n dx }
}
=
\biggl [
\sum_{n=0}^\infty { \frac { (-1)^n x^{n+1} } {n+1} }
\biggr ]_0^{\alpha}
=
\sum_{n=0}^\infty { \frac { (-1)^n {\alpha}^{n+1} } {n+1} }
Faisons tendre \alpha vers 1. La série en \alpha devient alors la série harmonique alternée, qui nous intéresse :
\sum_{n=0}^\infty { \frac { (-1)^n } {n+1} } = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \frac 1 5 - ...
Cette série est convergente, car la valeur absolue du terme général décroît et tend vers 0 (critère de Leibniz).
On obtient donc :
\boxed {
\ln 2 = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \frac 1 5 - ... = \sum_{n=0}^\infty { \frac { (-1)^n } {n+1} }
}