Les séries
Une série est constituée d'une infinité d'opérations, sur une infinité de nombres. Il y a des séries de sommes, ou de produits, encore appelées sommes infinies ou produits infini.
Mais bien qu'il y ait une infinité d'opérations, le résultat n'est pas forcément infini. On dit alors que la série est convergente.
Voici quelques exemples parmi les plus connues :
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\ln 2 = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + ... = \sum_{n=1}^\infty {\frac {(-1)^{n+1}} n}
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\frac \pi 4 = 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 - \frac 1 7 + ... = \sum_{n=0}^\infty {\frac {(-1)^n} {2n+1}}
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\frac {\pi^2} 6 = 1 + \frac 1 4 + \frac 1 9 + \frac 1 {16} + ... = \sum_{n=1}^\infty {\frac 1 {n^2}}
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\frac 2 \pi = \frac {1 \times 3} {2 \times 2} \times \frac {3 \times 5} {4 \times 4} \times \frac {5 \times 7} {6 \times 6} ... = \prod_{n=1}^\infty { \frac { (2n-1)(2n+1)} {(2n)^2} }
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\frac 3 \pi = \frac {5 \times 7} {6 \times 6} \times \frac {11 \times 13} {12 \times 12} \times \frac {17 \times 19} {18 \times 18} ... = \prod_{n=1}^\infty { \frac { (6n-1)(6n+1)} {(6n)^2} }
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Les séries fonctionnelles
Une série fonctionnelle est une série qui dépend d'une ou plusieurs variables. Par exemple :
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\frac {\sin x} x = \Big( 1 - \frac {x^2} {\pi^2} \Big) \Big( 1 - \frac {x^2} {4 \pi^2} \Big) \Big( 1 - \frac {x^2} {9 \pi^2} \Big) ... \Big( 1 - \frac {x^2} {k^2 \pi^2} \Big) ...
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