Les fonctions trigonométriques autrement

L’objet de ce chapitre est d’étudier une méthode de définition des fonctions trigonométriques différente de la méthode traditionnelle. Les définitions habituelles deviendront alors des théorèmes démontrés à partir de ces nouvelles définitions.

Considérons l’ensemble des solutions de l’équation différentielle :

\boxed { y''+y=0 }(1)

L’ensemble des solutions de cette équation est un espace vectoriel de dimension 2. Il suffit que nous trouvions deux solutions linéairement indépendantes pour générer une base de cet espace des solutions.

Solutions particulières

Supposons que nous disposions d’une solution f(x). Construisons une nouvelle fonction c(x) comme la partie paire de f :

c(x)=\frac { f(x)+f(-x) } 2

Développons c(x) en série polynomiale selon la formule de Taylor :

c(x) = c(0) + x c'(0) + \frac { x^2 c''(0) } {2!} + \frac { x^3 c'''(0) } {3!} + ... + \frac { x^n c^{(n)}(0) } {n!} + ...

Comme c(x) est une fonction paire, il ne devrait y avoir que des puissances paires de x :

c(x) = c(0) + \frac { x^2 c''(0) } {2!} + \frac { x^4 c^{(4)}(0) } {4!} + ... + \frac { x^{2n} c^{(2n)}(0) } {(2n)!} + ...

Or, c(x) est solution de l'équation différentielle (1) comme combinaison linéaire de deux solutions : f(x) et f(-x). Nous pouvons donc exprimer les dérivées successives en fonction de c(0), que l’on va mettre en facteur :

c(x) = c(0) \left ( 1 - \frac {x^2} 2 + \frac {x^4} {4!} - \frac {x^6} {6!} - ... + \frac { (-1)^n x^{2n} } { (2n)! } + ... \right )

Prenons comme fonction c(x) celle pour laquelle c(0)=1:

\boxed { c(x) = 1 - \frac {x^2} 2 + \frac {x^4} {4!} - \frac {x^6} {6!} - ... + \frac { (-1)^n x^{2n} } { (2n)! } + ... }
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Définissons maintenant une nouvelle fonction s(x) comme la partie impaire de notre fonction hypothétique f(x) :

c(x)=\frac { f(x)-f(-x) } 2

Par un raisonnement similaire, et ayant pris s’(0)=1, on peut démontrer que :

\boxed { s(x) = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^7} {7!} - ... + \frac { (-1)^n x^{2n+1} } { (2n+1)! } + ... }
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Nous avons reconnu, dans ces développements ceux, respectivement, de \cos x et de \sin x.

Et nous remarquons également que la dérivée de s(x) est c(x), et que celle de c(x) est -s(x).

Base de l’ensemble des solutions

Ces deux fonctions sont linéairement indépendantes, elles peuvent donc constituer une base de l’ensemble des solutions. C’est-à-dire que toute solution f de l’équation (1) doit pouvoir s‘écrire sous la forme :

f(x) = \alpha c(x) + \beta s(x), où \alpha et \beta sont des nombres réels.