Les fonctions génératrices

Une fonction génératrice est une fonction dont les coefficients du développement polynomial vont être utilisés pour définir une suite.

La suite, ainsi que le développement polynomial, peuvent être finis ou non.

Prenons par exemple la fonction ci-dessous, que l'on peut écrire sous la forme de la série géométrique :

\frac 1 {1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... , valable pour x \in \mathbf{R} et \lvert x \rvert < 1 .

On dit que la fonction f(x) = \frac 1 {1-x} est génératrice de la suite a = \{ 1 , 1 , 1 , ... \} , autrement définie par a_n = 1 , \forall n \in \mathbf{N} .

En effet, les coefficients du développement 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ... sont tous égaux à 1, c'est-à-dire la valeur constante de la suite { a_n } .

Autre exemple :

(1+x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k = 1 , la fonction f(x)=(1+x)^n est génératrice de la suite (finie) a_k = C_n^k , pour k=1 à n .

L’ensemble de définition de la variable x n’est pas toujours précisé. Quelques fois on dit qu’on se restreint à l’intervalle réel [0,1], mais on peut très bien étendre à \mathbf{R}, voire à \mathbf{C}, où la série peut très bien être divergente. Ce qui est important c’est de pouvoir faire des calculs symboliques, afin d’identifier les coefficients.