Le nombre d'or

Le nombre d’or, appelé aussi « proportion dorée », est un nombre auquel, dans l’histoire, on a attribué des propriétés de « beauté ». Par exemple si les cotés d’un rectangle : la longueur et la largeur, respectent cette proportion, le rectangle sera considéré comme particulièrement « beau ».

Le rectangle d'orL/h = le nombre d'or.

Des peintres comme Delacroix ou David vont souvent choisir cette proportion pour leurs tableaux. Ou encore, dès l’époque des églises et des cathédrales, cette proportion est très présente dans les éléments d’architecture.

Au vingtième siècle, Le Corbusier utilise ce nombre dans son Modulor.

Définition

Le nombre d’or est défini de la façon suivante: soit un rectangle dont le rapport longueur/largeur est égal à ce nombre (rectangle rose sur la figure). Si je construis un carré appuyé sur la longueur du rectangle, en prenant cette valeur pour coté, le grand rectangle que l’on obtient doit encore être un rectangle d’or (réunion du rectangle rose et du carré bleu).

Le rectangle d'or

Ce qui peut s'exprimer par la relation :

\frac{L + h}{L} = \frac{L}{h}

Après quelques transformations, on obtient :

\frac {L^2} {h^2} - \frac {L} {h} -1 = 0

Cette équation du second degré en L/h admet deux solutions de signe contraire. C'est la solution positive qui nous intéresse. Le nombre d'or est souvent appelé \phi :

\boxed { \phi=\frac {\sqrt 5 + 1} 2 \approx 1.618033... }

Fraction continue

Si on élève le nombre d'or au carré, cela revient à lui ajouter 1 :

\phi^2 = \phi+1

Divisons par \phi :

\phi = 1 + \frac 1 \phi

Remplaçons \phi par sa valeur et répétons l'opération :

\phi = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 \phi} \Rightarrow \phi = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 {1 + \frac 1 \phi}} \Rightarrow ...

On dit que \phi est égal à la fraction continue, dans laquelle on imagine qu'on poursuit le calcul indéfiniment :

\boxed { \phi = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 {1 + ...}} }

Radical continu

Reprenons cette formule :

\phi^2 = \phi+1

Nous pouvons en déduire :

\phi = \sqrt { 1 + \phi }

Si, comme précédemment, nous remplaçons \phi par sa valeur et répétons l'opération, nous obtenons le radical continu :

\boxed { \phi = \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + ... } } } }

La suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci a quelque chose à voir avec le nombre d'or. Elle est définie comme suit :

\left\{ \begin{array}{ll} u_1=1\\ u_2=1\\ u_{n+1}=u_n+u_{n-1} \end{array} \right.

Ce qui donne, pour les premières valeurs :

u_1=1, u_2=1, u_3=2, u_4=3, u_5=5, u_6=8, u_7=13, ...

On montre que le rapport entre deux termes successifs de la suite tend vers le nombre d'or :

\lim\limits_{n \rightarrow \infty} { \frac {u_n} {u_{n-1}} } = \frac { \sqrt 5 + 1 } 2